Односторонняя головоломка

Вероятно, каждый лист бумаги, что вы встречали, имел две стороны. А знаете ли вы, что можно сделать бумагу, у которой будет только одна сторона? Если нет, предлагаю вам подумать об этом перед тем, как читать дальше.

Поскольку каждый лист бумаги имеет две стороны, то, когда вы рисуете, вам необходимо поднять карандаш и перевернуть бумагу, чтобы нарисовать на другой стороне. Если бы бумага имела только одну сторону, вы могли бы писать на любой ее части, не отрывая карандаша. Если жук ползает по односторонней бумаге, он может попасть в любую ее часть, не перебираясь через острые края, верно? И всегда может вернуться туда, откуда начал свою прогулку. Разве подобное возможно?

Настоящий односторонний лист бумаги был открыт немецким астрономом и математиком по имени Август Фердинанд Мёбиус. В его честь такой лист называется лента Мёбиуса.

Мёбиус изучал раздел математики, называемый топологией и исследующий поверхности объектов. Топологи, так называют математиков, занимающихся топологией, выясняют, что происходит с вещами при их деформировании, когда они изменяют свою форму, не разрываясь или с образованием отверстий. Я приведу вам пару примеров.

В моем воображении я могу искривить и растянуть гвоздь, придав ему форму кусочка жевательной резинки, не так ли? (Конечно же, в топологии мы используем наше воображение. Многие вещи нельзя воплотить в реальность.) А могу ли я взять ножницы и растянуть их в форме жевательной резинки? Нет! Не получится, поскольку в ножницах есть отверстия в ручках. Как бы я мысленно ни изменял их первоначальную форму, в них все равно останутся отверстия. А для тополога все веши без отверстий одинаковы, так же как и все вещи с равным количеством отверстий. Это довольно сложная наука, но, если вы хоть немного начали понимать это, вы можете стать хорошим топологом. Эти примеры требуют очень хорошего воображения, и они – только начало в науке о топологии.

Суть в том, что топологи изучают поверхности предметов. Для тополога лист бумаги имеет две стороны. (Он может сказать даже, что их шесть, если он подумает о кромках.) Если ему нужна бумага с одной стороной, он будет думать о том, как их можно соединить в одну. Это именно то, чем занимался Мёбиус, и вот какое решение он нашел.

Приступаем к изготовлению ленты Мёбиуса

Это исследование похоже на то, которое вы проводили в конце первого раздела. Во-первых, сделайте кольцо из полоски газетной бумаги, склеив ее концы клейкой лентой. Проведите карандашом линию вдоль середины полоски. После этого вы обнаружите, что линия проходит по одной, внешней стороне. Этот кусочек бумаги, хотя и стал кольцом, все еще имеет две стороны!

Лента Мёбиуса фото

Скрепите другую полоску бумаги в кольцо, но перед тем, как склеить концы, поверните полоску на пол-оборота. Обведите ее вдоль середины. Вы вернетесь к тому месту, откуда начали, и ваша линия пройдет по обеим сторонам! Хотя вы не отрывали карандаша от бумаги, чтобы «нарисовать на другой стороне», эта бумажная полоска (с повернутым концом) и есть знаменитая лента Мёбиуса, лист бумаги, у которого только одна сторона!

Когда вы сделаете ленту Мёбиуса, можете продолжить ее исследование. Естественно, лист бумаги с одной-единственной стороной очень отличается от любого другого листа, с которым вы когда-либо сталкивались в своей жизни.  

А насколько он другой ?

Разрежьте ножницами первое (обыкновенное)  кольцо вдоль проведенной вами линии. Вы получите в результате два отдельных бумажных колечка. Этого-то вы и могли ожидать от двухстороннего листа бумаги.

Сделайте такой же разрез на ленте Мёбиуса (с повернутым концом). На этот раз вы получите одно кольцо, которое будет вдвое длиннее исходного. Действительно, односторонняя бумага очень отличается.

Если вы удивлены тем, что случилось со второй стороной или почему полоска оказалась вдвое длиннее, то я боюсь, что вам придется подождать с вопросами. Хотя топология – одна из самых захватывающих наук, настоящее ее понимание требует огромных знаний. Возможно, этот простой эксперимент заставит вас заинтересоваться «странным миром топологии», о котором вы наверняка еще не раз вспомните.

А перед тем, как до той поры расстаться с лентой Мёбиуса, вы можете попробовать провести еще несколько экспериментов.

Сделайте кольцо, дав одному концу полный оборот перед склеиванием.

Сделайте другое кольцо, дав концу полтора оборота.

С помощью ножниц разрежьте каждое из них в длину. Вы будете удивлены тем, что у вас получится! А теперь можете ли вы придумать другие эксперименты с разрезанием бумаги? Некоторые фокусники используют уловки вроде этих, чтобы ошеломить зрителей. И вы тоже можете поразить своих друзей!

                                            Изучаем бумагу