Фокусы с бумагой, математические
2- й Фокус с бумагой: Чудесная линия
Представьте, что кто-нибудь начертил на листе бумаги линию длиной 10 см и вдруг на ваших глазах она исчезла… Скажете, волшебный фокус?
На самом деле есть очень простой способ проделать такой трюк, причем вам в общем-то необязательно быть фокусником, и, когда вы попробуете, вы сами удивитесь. Вот что нужно сделать.
Вам понадобится лист бумаги 12,5×20 см. Начертите тонкие линии, отступив по 1 см от каждой из длинных его сторон. Разметьте эти две линии с интервалом по 2,5 см. Проведите между отметками жирные прямые линии. (Рис. А поможет вам сделать это правильно.)
Теперь проведите одну линию от начала первой жирной линии к концу последней (рис. Б). Продолжите ее с обеих сторон до кромок листа. Разрежьте лист ножницами по этой линии.
Пересчитайте линии, сложив два кусочка, как было до разреза. Вы обнаружите, что их семь.
А теперь сдвиньте нижнюю часть вниз по диагонали. Выровняйте жирные линии, как показано на рис. В. Снова пересчитайте линии. Вы найдете только шесть! Куда же делась седьмая?
Когда вы сделаете это в первый раз, вас наверняка поразит внезапное исчезновение седьмой линии. Но не забывайте, что это не волшебный, а математический фокус. Сумеете понять, почему так получается, до того, как будете читать дальше?
Вот пример, который поможет вам разобраться в этом: представьте, что у вас есть семь ковшей, наполовину наполненных водой. Ваш друг пересчитает их и согласится с вами, что у вас действительно семь ковшей с водой. Затем он отвернется, а вы возьмете один из ковшей и будете разливать воду из него в остальные шесть, пока она не закончится. После этого каждый из оставшихся ковшей будет содержать лишь чуть-чуть (на У6) больше воды, чем в нем было до этого. Когда ваш друг обернется, он, скорее всего, этого не заметит, но зато он обязательно заметит, что седьмой ковш пуст. И попытается это объяснить, сказав, что вода в нем исчезла.
Это примерно то же самое, что случилось с вашей бумагой. Когда вы сдвинули бумагу, каждая из шести оставшихся линий стала немного длиннее, чем она была до этого. Если вы измерите линейкой длину исходных линий, то обнаружите, что они длиной по 10 см. После сдвига каждая линия окажется примерно по 11,6 см. Так что лишняя линия не растворилась, она просто оказалась разрезанной на маленькие отрезки, распределенные между оставшимися шестью.
Человеческий глаз весьма слаб при оценке длины. Это одна из причин того, почему линейки крайне необходимы нам при измерении различных предметов. Из-за этого вы, возможно, не заметили, что каждая линия стала немного длиннее, и поэтому вам показалось, что одна из них просто исчезла.
В этом фокусе с бумагой вы можете не только заставить линию исчезнуть, но и вызвать появление «лишней» линии. Используя ту же самую бумагу, сначала верните линии в их первоначальное положение, после чего сдвигайте нижнюю часть вправо до тех пор, пока линии не совпадут. После пересчитывания вы обнаружите, что их стало восемь, хотя линии справа и слева окажутся длиннее, чем посередине. Откуда взялась лишняя линия? Она образовалась, «украв» понемногу длину у каждой из семи исходных линий. Точно так же, как если бы вы отлили воду поровну из семи ковшей в восьмой!
Если появление восьмой линии удивило вас, продолжайте сдвигать нижнюю часть вправо, и вы получите девять, десять и даже двенадцать линий; но затем вы увидите, что средние линии станут настолько короткими, что разгадка фокуса будет очевидна.
3- й Фокус с бумагой: Удваивающаяся сложность
Жил-был человек, который зарабатывал себе на карманные расходы тем, что косил лужайки. А еще, как вы увидите, он неплохо разбирался в арифметике. Он согласился все лето подстригать соседскую лужайку на таком условии: «Я подстригу вашу лужайку в первый раз за 1 копейку. За второй раз вы должны будете заплатить мне вдвое больше (2 копейки), затем снова вдвое больше (4 копейки) за третий раз и так далее, за каждую следующую стрижку плата будет удваиваться». – «Хорошо», – обрадовался сосед, подумав, что у него теперь будет аккуратная лужайка почти даром.
В течение лета этот человек подстриг лужайку двадцать раз. «Сколько я должен тебе?» – спросил сосед, когда наступила осень. От услышанного ответа у него перехватило дыхание.
«Вы должны мне 7 тысяч 290 рублей и 88 копеек», – ответил работник и был абсолютно прав! Это выдуманная история; однако если вы, как и этот человек, неплохо разбираетесь в математике, то легко поймете, почему плата оказалась столь высока. Сомневаетесь? Вот простое объяснение, которое поможет вам, причем это не будет стоить вам ни копейки.
Разрежьте лист бумаги пополам. Положите одну половинку на другую и разрежьте их еще раз пополам. Снова сложите их и разрежьте пополам, как и раньше.
Так и продолжайте, каждый раз складывая и разрезая все половинки. Сколько раз вам удастся проделать это? Могу поспорить, что у вас не получится больше десяти разрезов!
Почему? Мы можем назвать это «удваивающейся сложностью», но математик скажет вам, что это математическая прогрессия. Давайте посмотрим, что это означает. Каждый раз, когда вы складываете разрезанную бумагу, вы на самом деле удваиваете количество листков по сравнению с тем, что у вас было до этого. Вы начали с одного листа, разрезали его надвое, два листа превратились в четыре, четыре стали восемью и так далее. Возможно, это звучит не так внушительно; в таком случае давайте посмотрим, что получится после десяти разрезов:
0 разрезов = 1 лист бумаги
1 разрез = 2 листа бумаги
2 разреза = 4 листа бумаги
3 разреза = 8 листов бумаги
4 разреза =16 листов бумаги
5 разрезов = 32 листа бумаги
6 разрезов = 64 листа бумаги
7 разрезов = 128 листов бумаги
8 разрезов = 256 листов бумаги
9 разрезов = 512 листов бумаги
10 разрезов = 1024 листа бумаги.
Таким образом, после десяти разрезов у вас будет 1024 листка, сложенных вместе перед одиннадцатым разрезом. Вы думаете, что у вас хватит сил, чтобы разрезать 1024 листа бумаги с одного раза? Стопка-то будет в несколько раз толще, чем вся эта книга!
А еще я поспорю с вами, что у вас не получится сложить один и тот же лист бумаги пополам более девяти раз! Теперь вы знаете почему и можете смело спорить об этом с вашим другом. Вам известно, что после девяти сгибаний бумага окажется толщиной в 512 листов – многовато, чтобы еще раз перегнуть их. А что, если он, попытавшись однажды это сделать, предложит взять лист побольше – позволите вы ему это? Сколько угодно! Не забывайте, что в то время, как он удваивает толщину, он одновременно уменьшает вдвое размер (попробуйте и убедитесь). Если он начнёт сгибать лист, скажем, длиной 3 м, то после девятого сгиба он окажется шириной всего лишь около 5 см (и толщиной 512 страниц). Он не сможет согнуть такую кипу пополам! Самое лучшее в математических фокусах – это то, что вы легко можете сами попробовать проделать их и посмотреть, что получится.
Изучаем бумагу